Teoría de conjuntos.
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Simbologia de conjuntos.
Tipos de conjuntos
.
Conjunto vacío.
Consideremos la existencia de un conjunto que no tiene elementos, este es llamado conjunto vacío.
También, haciendo uso de la descripción por extensión, representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes {}. Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.
Conjuntos unitarios
El conjunto unitario se distingue por tener solo un
elemento. No importa qué tipo de
elemento tenga el conjunto, un gato, un perro, un número, una letra, o
cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario.
Conjuntos finitos
Este tipo
de conjunto también se distingue por la cantidad de elementos que posee.
Un conjunto es finito si podemos
contar la cantidad de elementos que lo conforman.
Por ejemplo, el conjunto de las letras del idioma
castellano es finito porque en total son 27 letras. En la imagen de la
derecha se muestran otros conjuntos finitos.
Conjuntos
infinitos
No es fácil encontrar en la naturaleza ejemplos de
este tipo de conjuntos. Los conjuntos
infinitos son aquellos a los cuales no les podemos contar la
cantidad de elementos que los componen. El método más fácil para
representar este tipo de conjuntos es por comprensión. Basta con
mencionar las características que tienen en común los elementos del conjunto y
los estaremos determinando a todos. Considera el conjunto de los números
que terminan en tres, podríamos definirlo así: Sea T= {x∣x es número y termina en tres}
T={x∣x es número y termina en tres}.
También
existe una manera de representar algunos conjuntos infinitos por extensión. Basta
exhibir los primeros elementos del conjunto e indicar con puntos suspensivos
que la lista continua indefinidamente. En el caso del conjunto TT, definido en el párrafo anterior y conformado por los
números que terminan en tres, se tiene T=
{3, 13, 23, 33, 43, 53,...} T=
{3, 13, 23, 33, 43, 53,...}.
Los ejemplos más sencillos y comunes de conjuntos
infinitos los encontramos en los números. ¿Cuántos números pares hay?
¿Cuántos múltiplos tiene el tres? Estos conjuntos son infinitos, y no es
porque este más allá de nuestra capacidad contar la cantidad de elementos que
tienen. Es que es imposible hacerlo porque no hay un número que
represente la cantidad de elementos que el conjunto contiene.
No debes confundir los conjuntos infinitos con
conjuntos finitos que tienen una gran cantidad de elementos. Por ejemplo,
¿consideras el conjunto de todos los granos de arena en el planeta Tierra, un
conjunto infinito? En este caso, aunque el conjunto tenga una gran
cantidad de elementos debe existir un número que la represente, así sea muy
grande.
Operaciones con conjuntos.
Unión de
conjuntos.
M= {a, b, c} y N= {g, l, e, b}
Podemos crear otro conjunto
conformado con los elementos que pertenezcan
a M o N. A este nuevo conjunto le llamamos unión
de M y N, y lo notamos de la siguiente manera: M∪N.
En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos M y N.
Al elegir qué elementos
estarán en la unión de nuestros conjuntos M y N, debes preguntarte cuáles
están en el conjunto M “o” en el conjunto N. El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los
elementos del conjunto universal U, que cumplan la condición de estar en uno o en otro.
Tenemos en este caso: M∪N= {a, c, b, g,
e, 1}.
Intersección
de conjuntos.
Sigamos tomando como ejemplo los
conjuntos M y N definidos anteriormente.
Podemos determinar un nuevo conjunto conformado
por los elementos que nuestros conjuntos M y N tienen
en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de M y N y lo notamos de
la siguiente manera: M∩N.
Para determinar qué elementos pertenecen
a la intersección de los conjuntos M y N te puedes preguntar qué elementos están en M “y”
en N. Todos
los elementos del conjunto U que
cumplan esta condición deberán estar en el conjunto M∩N. En la figura de la arriba podemos ver la
intersección de nuestros conjuntos M y N, tenemos que M∩N= {b}.
Diferencia
de conjuntos.
Además de la unión y la intersección podemos
realizar la diferencia de conjuntos.
En este caso se deben seleccionar los elementos de un
conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas la
operación M menos N, debes seleccionar los elementos de M que no están
en N. Representamos la diferencia M menos N así: M \ N. Observa que en este caso M \ N= {a, c}.
Diferencia
simétrica de conjuntos.
Que el nombre esta operación no te alarme, también
es muy sencilla.
En esta ocasión se
deben escoger los elementos de M que no están en N, y los elementos de N que
no están en M. Puedes ver el resultado de la diferencia simétrica entre M y N en la figura de
la izquierda. Representamos la
diferencia simétrica a través del símbolo Δ. En el caso de
nuestros conjuntos M y N tenemos: M Δ N= {a, c, g, 1, e}.
Los diagramas de Venn son esquemas
usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas
cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo
consideración, el conjunto universal U.
Con
los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección,
inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos
Intersección
Dado
que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por
sus líneas límite se superponen. El conjunto de los elementos que pertenecen
simultáneamente a otros dos es la intersección de
ambos.
Inclusión
Si
todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de otro, se dice
que el primero es un subconjunto del
segundo o que está incluido en
el segundo. En los diagramas de Venn, todas las regiones de superposición
posibles deben ser representadas. Y, cuando hay regiones que no contienen
elementos (regiones vacías), la
situación se indica anulándolas (con un color de fondo distinto).
Disyunción
Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la
región de superposición queda vacía.
A
la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntos por enumeración y por comprensión.
Ejercicios:
CONJUNTOS
Sabiendo que
a={x/x números del 0 al 9}
b= {x/x números pares >0 y <13}
Resolver:
aUb
a∩b
a-b
a∆b
Diagrama de VENN
Se les paso una encuesta a comensales sobre qué clase de carne comerían en un almuerzo de domingo y esto fue lo que respondieron:
48 comerían carne de pollo.
40 comerían carne de res.
34 comerían carne de cerdo
25 comerían carne de pollo y de res.
14 comerían carne de res y de cerdo.
23 comerían carne de cerdo y pollo.
5 comerían las tres clases de carne.
Representando los datos en un diagrama de Venn:
- Indique el total de comensales encuestados.
- Indique cuantos comieron carne de cerdo.
- Indique cuantos comieron solo carne de pollo.
- Indique cuantos comieron al menos dos clases de carne.
- Indique cuantos comieron carne de res y pollo.
Conclusiones:
Es muy interesante la funcionalidad que tiene los conjuntos y el diagrama de ven en nuestra vida cotidiana ya que prácticamente vivimos conjuntando los elementos que están a nuestro alrededor, pero lo mas importante de estas dos herramientas es que se pueden aplicar fácilmente a las labores empresariales de todo individuo ya que permite presentar gran numero de datos en una forma fácil de realizar y comprender.
Estas herramientas facilita las labores empresariales en muchos aspectos, por ejemplo al momento de seleccionar personal podemos establecer los paramentos a cumplir como un conjunto separado y el que cumpla con todos los requisitos es el que aparecerá en las intersecciones y con ello sabremos cuanto aspirantes al empleo cumplen con las expectativas.
Enlaces de la información.
http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm
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