METODO POLYA

Etapas o clasificación del Método Pólya.

Pese a los años que han pasado desde la creación del método propuesto por Pólya, hoy día aún se considera como referente de alto interés acerca de la resolución de problemas. Las cuatro fases que componen el ciclo de programación concuerdan con los pasos descritos por Pólya para resolver problemas matemáticos” (López 2010).

Macario (2006) describe que este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos.

Para resolver un ejercicio, se aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, se hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que se ejecute pasos originales antes para dar la respuesta.

Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución, para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 + 2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario.

Paso 1: Entender el Problema. 

Para entender el problema debemos responder estas preguntas.

• ¿Entiendes todo lo que dice?

• ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

• ¿Distingues cuáles son los datos?

• ¿Sabes a qué quieres llegar?

• ¿Hay suficiente información?

• ¿Hay información extraña?

• ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan.

En esta etapa debemos escoger una estrategia adecuada para el problema a resolver. Muchas veces se puede complementar una estrategia con otra para dar solución al problema de una mejor manera.

1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).

2. Usar una variable.

3. Buscar un Patrón

4. Hacer una lista.

5. Resolver un problema similar más simple.

6. Hacer una figura.

7. Hacer un diagrama

8. Usar razonamiento directo.

9. Usar razonamiento indirecto.

10. Usar las propiedades de los números.

11. Resolver un problema equivalente.

12. Trabajar hacia atrás.

13. Usar casos

14. Resolver una ecuación

15. Buscar una fórmula.

16. Hacer una simulación

17. Usar un modelo.

18. Usar análisis dimensional.

19. Identificar sub-metas.

20. Usar coordenadas.

21. Usar simetría.

Paso 3: Ejecutar el Plan.

• Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.

• Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).

• No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás.

Para saber si realmente se logro resolver el problema se debe de responder las siguiente preguntas.

• ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?

• ¿Adviertes una solución más sencilla?

• ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

PROBLEMAS CON SU SOLUCIÓN.

Ejemplo 1 

(Hacer una o más operaciones matemáticas): Justo en la zona de Punta Escambrón ocurrió uno de los peores accidentes de derrame de combustible en la historia del país. Se cree que al menos 2 de los 9 tanques de la barcaza Morris J. Berman se rompieron en el impacto comenzando a derramar parte de los 1.5 millones de galones de combustible utilizados para generar energía eléctrica. Los 1.5 millones de galones de petróleo caben en 125 camiones tanques de los que a diario se ven a diario en la carretera. ¿Cuántos galones de combustible caben en cada camión tanque?

RESOLUCIÓN:

Comprender el problema: La cantidad de petróleo en la barcaza es 1.5 millones. Esta cantidad cabe en 125 camiones tanques. ¿Cuál es la capacidad de cada tanque?

Desarrollar un plan: Dividir 1.5 millones entre 125 camiones.

Llevar a cabo el plan: 1,500,000 ÷ 125 = 12,000 galones

Revisar: 12,000 x 125 = 1,500,000 millones

SOLUCIÓN:

Cada tanque debe caber aproximadamente 12,000 galones de combustible.

EJEMPLO 2 

(Avanza de atrás hacia adelante): En la aprobación de un proyecto de ley presentado ante una comisión de la Cámara de Representantes de Puerto Rico, hubo 7 votos a favor de representantes del Partido Nuevo Progresista más que del Partido Popular y el número de votos a favor del Partido Popular fue el doble de los votos a favor de los representantes del Partido Independentista. Hubo 2 representantes del partido Independentista que votaron a favor de la aprobación del proyecto. ¿Con cuántos votos a favor se aprobó el proyecto?

RESOLUCIÓN:

Comprender el problema: Se desea saber el número de votos a favor de la aprobación. Se conoce que del Partido Nuevo Progresista hubo 7 votos más que el del Partido Popular. Además, que el número de votos del partido Popular fue el doble de los votos del Partido Independentista y que hubo 2 votos del Partido Independentista.

Desarrollar un plan: Se aplicará estrategia de trabajar de adelante hacia atrás. Primero, se utilizará el hecho que hubo 2 votos del Partido Independentista para determinar el número de votos del Partido Popular. Luego, se determinará el número de votos del Partido Nuevo Progresista. Por último, se sumará las tres cantidades.

Llevar a cabo el plan: Como hubo 2 votos del partido independista, hubo el doble o 4 votos del partido Popular. Como del Partido Nuevo Progresista hubo 7 más que del Partido Popular, en este partido hubo 11 votos.

Por tanto, en total hubo:

2 + 4 + 11 = 17 votos.

Revisar: La cantidad obtenida parece razonable.

SOLUCIÓN: 

Hubo 17 votos a favor del proyecto.

CONCLUSIONES:

El método Pólya en la resolución de problemas,  favoreció en el curso de matemática, por la falta de metodología en la aplicación de pasos o procesos que ayudan a resolver problemas por lo tanto el método Polya es efectivo específicamente en su aplicación en la resolución de problemas matemáticos. 

MATERIAL DE APOYO.

EJERCICIOS:

1. Resolver los siguientes problemas matemáticos. Aplicar el método pólya y la estrategia Utilización de un cuadro o una lista. 

A un grupo de estudiantes les dejaron como tarea leer un documento de 300 páginas. El primer día leyeron 10 páginas, el segundo día 15 páginas, el tercer día 20 páginas y así sucesivamente. ¿Cuántos días se tardaron en leer el documento?

2. Resolver los siguientes problemas matemáticos. Aplicar el método pólya y la estrategia Utilización de un cuadro o una lista. 

Tres amigos: Ángel, Beto y Carlos tienen distintas aficiones por el fútbol, basquetbol y voleibol, y gustan de colores diferentes, azul, rojo y blanco. Si se Sabe que: Beto no practica voleibol, al basquetbolista no le agrada el color rojo, Ángel practica basquetbol, quien practica voleibol le agrada el color blanco, a Beto no le gusta el color azul. ¿Qué afición tiene y qué color prefiere cada uno?

3. Resolver los siguientes problemas matemáticos. Aplicar el método pólya y la estrategia Trazar un diagrama o una figura.

Caminando por las laderas un caracol tiene que escalar un muro de 7 metros de altura. Cada día conseguía escalar 4 metros, pero como el muro era húmedo y resbaladizo, cada noche resbalaba 3 metros hacia abajo. ¿Cuántos días necesitó el caracol para llegar a lo alto del muro?

ENLACES DE LA INFORMACIÓN.

Borragán, S. (2006) Descubrir, investigar, experimentar, iniciación a las ciencias. España: Secretaría General de Educación.

Macario, S. ( 2006) Matemáticas para el siglo XXI. Talca, Chile: Universitat Jaume I

López, P. (2008) Estudio de la resolución de problemas matemáticos con alumnos recién llegados de Ecuador en Secundaria. (Tesis de doctorado). Recuperado de http://www.tdx.cat/handle/10803/1328

TABLA DE VERDAD, LOGICA PROPOSICIONAL Y LEY DE MORGAN

TABLAS DE VERDAD

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos, ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ ,como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.

Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.

Para la construcción de la tabla se asignará el valor "V" una proposición cierta y "F" una proposición falsa.

LA CONJUNCIÓN.

Símbolo gramatical: y.

Símbolo lógico: Ʌ.

La conjunción solamente es cierta si lo son sus dos componentes.

LA DISYUNCIÓN.

Símbolo gramatical: o.

Símbolo lógico: V.

La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

LA IMPLICACIÓN.

Símbolo gramatical: si, entonces.

Símbolo lógico: →.

La implicación es falsa únicamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 

LA DOBLE IMPLICACIÓN.

Símbolo gramatical: si y solo si.

Símbolo lógico: ↔.

La doble implicación es verdadera únicamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es verdadero, o, el antecedente es falso y el consecuente es falso. 

LA NEGACIÓN.

Símbolo gramatical: no.

Símbolo lógico: ~.

La negación cambia el valor de los elementos de verdadero a falso, y de falso a verdadero.

LÓGICA PROPOSICIONAL.

La lógica proposicional es una parte de la lógica clásica que estudia las variables proposicionales, sus posibles implicaciones, los valores de verdad de las proposiciones o de conjuntos de ellas formadas a partir de los conectores lógicos. Permite validar o no las afirmaciones que se hacen en matemáticas o en otras ramas del conocimiento. Estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.

En la lógica proposicional, las conectivas lógicas son tratados como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. 

Proposiciones

Tautología: se define tautología o validez a aquella formula que siempre es verdadera.

Contradicción: es una proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad. Para cualquier valor de verdad de las proposiciones, sea cual sea el resultado de la formula lógica estudiada siempre va a ser falso.

Conjunción: es aquella formula que es falsa o verdadera. Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se definen constante lógicas.

LEY DE MORGAN.

Son una parte de la Lógica preposicional, analítica, y fueron creadas por Augustus de Morgan. Estas declaran las reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes. Las Leyes de Morgan permiten: El cambio del operador de conjunción en operador de disyunción y viceversa. Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas (en todo o en sus partes).

EJEMPLOS:

¬(P ^ Q) ≡ (¬P v ¬Q) Si nos encontramos con una proposición conjuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva con cada uno de sus miembros negados.

¬(P v Q) ≡ (¬P ^ ¬Q) Si nos encontramos con una proposición disyuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva con cada uno de sus miembros negados.

¬(P → Q) ≡ P v ¬Q Si nos encontramos con una proposición condicional totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva con diferencia que solo se niega la segunda proposición.

¬(P ↔ Q) ≡ (P v ¬Q) ^ (Q v ¬ P) Si nos encontramos con una proposición bicondicional totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en dos proposición disyuntivas, negando cada proposición por separado tal y como lo muestra el ejemplo anterior.

CONCLUSIONES:

La lógica proposicional nos ayuda a detectar la clase de razonamiento lógico, para así decir si el argumento es válido y puede formar una teoría o un teorema. Como también  Identificar el lenguaje simbólico de las proposiciones. Como también conocer los usos propios de cada símbolo, Usar correctamente los conectivos lógicos para simbolizar las proposiciones compuestas que se indican y Traducir al lenguaje simbólico razonamientos expresados en lenguaje ordinario. Dentro de este tipo de lógica puede analizarse la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.

El método Polya es muy bueno para la solución de problemas, mas allá de ser modelos matemáticos o ecuaciones, es una manera de pensar, un proceso de razonamiento el cual mediante ciertos pasos metódicos facilita el entendimiento de un problema hasta llegar a su solución.

MATERIAL DE APOYO.

Tabla de verdad y lógica proposicional (EJERCICIO).

https://www.daypo.com/tablas-valor-verdad-602.html

ENLACES DE LA INFORMACIÓN.

TABLA DE VERDAD.

https://ericmat.wordpress.com/2010/06/17/proposiciones-conjunciones-disyunciones-implicaciones/

LÓGICA PROPOSICIONAL.

https://revolutionblogg.wordpress.com/2012/12/19/logica-proposicional-tablas-de-verdad-e-inferencias/

LEY DE MORGAN.

https://www.ecured.cu/Leyes_de_Morgan